Moving Gjennomsnittet Hamming

Forskeren og ingeniørerveiledningen til digital signalbehandling av Steven W. Smith, Ph. D. Kapittel 9: Anvendelser av DFT-spektralanalyse av signaler Det er svært vanlig at informasjon blir kodet i sinusoider som danner et signal. Dette gjelder for naturlig forekommende signaler, så vel som de som har blitt skapt av mennesker. Mange ting svinger i vårt univers. For eksempel er tale et resultat av vibrasjon av de menneskelige vokalbåndene, og planeter forandrer lysstyrken når de roterer på sine akser og dreier seg om hverandre. Skips propellere genererer periodisk forskyvning av vannet og så videre. Formen på tidsdomene-kurven er ikke viktig i disse signalene, nøkkelinformasjonen er i frekvensen. fase og amplitude av komponent sinusoider. DFT er brukt til å trekke ut denne informasjonen. Et eksempel vil vise hvordan dette virker. Anta at vi vil undersøke lydene som går gjennom havet. Til å begynne med er en mikrofon plassert i vannet og det resulterende elektroniske signalet forsterkes til et rimelig nivå, si noen få volt. Et analogt lavpasfilter brukes da til å fjerne alle frekvenser over 80 hertz, slik at signalet kan digitaliseres til 160 prøver per sekund. Etter å ha kjøpt og lagret flere tusen prøver, hva neste Det første er å bare se på dataene. Figur 9-1a viser 256 prøver fra vårt imaginære eksperiment. Alt som kan sees er en støyende bølgeform som formidler liten informasjon til det menneskelige øye. Av grunnlag forklares kort, er neste trinn å formere dette signalet med en jevn kurve kalt et Hamming-vindu. vist i (b). (Kapittel 16 gir ligningene for Hamming og andre vinduer se Eqs. 16-1 og 16-2, og Fig. 16-2a). Dette resulterer i et 256-punkts signal hvor prøvene nær endene er redusert i amplitude, som vist i (c). Hvis du tar DFT, og konverterer til polar notasjon, resulterer det i 129 punktfrekvensspekteret i (d). Dessverre ser dette også ut som et støyende rot. Dette skyldes at det ikke er nok informasjon i de opprinnelige 256 poengene for å oppnå en veloppdragen kurve. Bruk av en lengre DFT gjør ingenting for å hjelpe dette problemet. For eksempel, hvis en 2048 punkt DFT brukes, blir frekvensspektret 1025 prøver langt. Selv om de opprinnelige 2048 poengene inneholder mer informasjon, sprer det større antall prøver i spektret informasjonen med samme faktor. Lengre DFTs gir bedre frekvensoppløsning, men det samme støynivået. Svaret er å bruke mer av det opprinnelige signalet på en måte som ikke øker antall poeng i frekvensspekteret. Dette kan gjøres ved å bryte inngangssignalet til mange 256 punktsegmenter. Hvert av disse segmentene multipliseres med Hamming-vinduet, går gjennom en 256-punkts DFT, og konverteres til polar notasjon. De resulterende frekvensspekterene blir deretter gjennomsnittet for å danne et enkelt 129-punkts frekvensspekter. Figur (e) viser et eksempel på gjennomsnittlig 100 av frekvensspektraene som er typifisert av (d). Forbedringen er tydelig, støyen er redusert til et nivå som gjør det mulig å observere interessante funksjoner i signalet. Bare størrelsen på frekvensdomene er i gjennomsnitt på denne måten fasen blir vanligvis kastet fordi den ikke inneholder nyttig informasjon. Den tilfeldige støyen reduseres i forhold til kvadratroten av antall segmenter. Mens 100 segmenter er typiske, kan enkelte programmer gjennomsnittlig millioner av segmenter for å gi ut svake funksjoner. Det er også en annen metode for å redusere spektralstøy. Begynn med å ta en veldig lang DFT, si 16.384 poeng. Det resulterende frekvensspekteret er høy oppløsning (8193 prøver), men veldig støyende. Et lavpas digitalt filter brukes da til å jevne ut spekteret, og reduserer støyen på bekostning av oppløsningen. For eksempel kan det enkleste digitale filteret ha gjennomsnittlig 64 tilstøtende prøver i det opprinnelige spektret for å produsere hver prøve i det filtrerte spektrum. Gjennom beregningene gir dette omtrent den samme støyen og oppløsningen som den første metoden, hvor de 16.384 poeng vil bli brutt i 64 segmenter med 256 poeng hver. Hvilken metode bør du bruke Den første metoden er lettere, fordi det digitale filteret ikke er nødvendig. Den andre metoden har potensial for bedre ytelse, fordi det digitale filteret kan skreddersys for å optimalisere avviket mellom støy og oppløsning. Denne forbedrede ytelsen er imidlertid sjelden verdt bryet. Dette skyldes at både lyd og oppløsning kan forbedres ved å bruke flere data fra inngangssignalet. For eksempel, tenk å ødelegge de overførte dataene til 10.000 segmenter på 16.384 prøver hver. Dette resulterende frekvensspekteret er høy oppløsning (8193 poeng) og lav støy (10.000 gjennomsnitt). Problemet løses Av denne grunn vil vi bare se på gjennomsnittssegmentmetoden i denne diskusjonen. Figur 9-2 viser et eksempelspektrum fra vår undersjøiske mikrofon, som illustrerer funksjonene som ofte vises i frekvensspektraene til overførte signaler. Ignorer de skarpe topper for et øyeblikk. Mellom 10 og 70 hertz består signalet av en relativt flat region. Dette kalles hvit støy fordi den inneholder en lik mengde av alle frekvenser, det samme som hvitt lys. Det resulterer fra støyen på tidsdomænebølgeformen som er ukorrelert fra prøve til prøve. Det er å vite at støynivået til stede på en enkelt prøve gir ingen informasjon om støyverdien som er tilstede på noen annen prøve. For eksempel produserer tilfeldig bevegelse av elektroner i elektroniske kretser hvit støy. Som et mer kjent eksempel er lyden av vannsprøyten som treffer dusjgulvet hvit støy. Den hvite støyen som er vist i figur 9-2, kan stamme fra noen av flere kilder, inkludert den analoge elektronikken eller selve havet. Over 70 hertz, den hvite støyen minker raskt i amplitude. Dette er et resultat av avrullingen av antialiasfilteret. Et ideelt filter ville passere alle frekvenser under 80 Hz, og blokkere alle frekvensene ovenfor. I praksis er det ikke mulig å skape en perfekt skarpt cutoff, og du bør forvente å se denne gradvise nedgangen. Hvis du ikke mistenker at et aliasing problem er tilstede. Under omtrent 10 hertz øker støyen raskt på grunn av en nysgjerrighet som kalles 1f støy (en-over-f-støy). 1f støy er et mysterium. Det har blitt målt i meget varierte systemer, som trafikkdensitet på motorveier og elektronisk støy i transistorer. Det kan sannsynligvis måles i alle systemer, hvis du ser lavt nok i frekvens. Til tross for den brede forekomsten har en generell teori og forståelse av 1f-støy unngått forskere. Årsaken til denne støyen kan identifiseres i noen spesifikke systemer, men dette svarer ikke på spørsmålet om hvorfor 1f støy er overalt. For vanlig analog elektronikk og de fleste fysiske systemer forekommer overgangen mellom hvit støy og 1f støy mellom 1 og 100 hertz. Nå kommer vi til de skarpe topper i figur 9-2. Det enkleste å forklare er 60 hertz, et resultat av elektromagnetiske forstyrrelser fra kommersiell elektrisk kraft. Forvent også å se mindre topper ved multipler av denne frekvensen (120, 180, 240 hertz, etc.) siden kraftlinjevinkelen ikke er en perfekt sinusformet. Det er også vanlig å finne forstyrrende topper mellom 25-40 kHz, en favoritt for designere som bytter strømforsyning. Nærliggende radio - og fjernsynsstasjoner produserer forstyrrende topper i megahertzområdet. Lavfrekvente topper kan skyldes at komponenter i systemet vibrerer når de rystes. Dette kalles mikrofonics. og oppretter vanligvis topper på 10 til 100 hertz. Nå kommer vi til de faktiske signalene. Det er en sterk topp på 13 Hertz, med svakere topper på 26 og 39 Hertz. Som diskutert i neste kapittel, er dette frekvensspektret for en nonsinusoid periodisk bølgeform. Toppet på 13 hertz kalles grunnfrekvensen, mens toppene på 26 og 39 hertz refereres til som henholdsvis den andre og tredje harmoniske. Du vil også forvente å finne topper ved andre multipler på 13 hertz, som 52, 65, 78 hertz, etc. Du ser ikke disse i figur 9-2 fordi de er begravet i den hvite støyen. Dette 13 hertz-signalet kan genereres, for eksempel ved en submariness trebladet propell som snu på 4,33 omdreininger per sekund. Dette er grunnlaget for passiv sonar, og identifiserer undervannslyder med frekvens og harmonisk innhold. Anta at det er topper veldig tett sammen, som vist i figur 9-3. Det er to faktorer som begrenser frekvensoppløsningen som kan oppnås, det vil si hvor nær toppene kan være uten å slå sammen i en enkelt enhet. Den første faktoren er lengden på DFT. Frekvensspektret produsert av et N-punkt DFT består av N 2 1 prøver som er like innbyrdes mellom 0 og 1 halv av samplingsfrekvensen. For å skille to tett avstilt frekvenser, må prøveavstanden være mindre enn avstanden mellom de to toppene. For eksempel er en 512 punkt DFT tilstrekkelig til å skille toppene i figur 9-3, mens en 128-punkts DFT ikke er. Den andre faktorbegrensende oppløsningen er mer subtil. Tenk deg et signal opprettet ved å legge to sinusbølger med bare en liten forskjell i frekvensene deres. Over et kort segment av dette signalet, si noen få perioder, vil bølgeformen se ut som en enkelt sinusbølge. Jo nærmere frekvensene, desto lengre segmentet må være å konkludere at mer enn én frekvens er til stede. Med andre ord begrenser signalets lengde frekvensoppløsningen. Dette er forskjellig fra den første faktoren, fordi lengden på inngangssignalet ikke må være det samme som lengden på DFT. For eksempel kan et 256-punkts signal bli polstret med nuller for å gjøre det 2048 poeng langt. Å ta en 2048 punkt DFT produserer et frekvensspekter med 1025 prøver. De tilsatte nullene endrer ikke spekterets form, de gir bare flere prøver i frekvensdomenet. Til tross for dette svært nøye utvalgte, kunne muligheten for å skille tett avstands topper bare være litt bedre enn å bruke en 256-punkts DFT. Når DFT er samme lengde som inngangssignalet, er oppløsningen begrenset omtrent like ved disse to faktorene. Vi kommer snart tilbake til dette problemet. Neste spørsmål: Hva skjer hvis inngangssignalet inneholder en sinusoid med en frekvens mellom to av basisfunksjonene Figur 9-4a viser svaret. Dette er frekvensspektret til et signal som består av to sinusbølger, en som har en frekvens som samsvarer med en basisfunksjon, og den andre med en frekvens mellom to av basisfunksjonene. Som du bør forvente, er den første sinusbølgen representert som et enkeltpunkt. Den andre toppen er vanskeligere å forstå. Siden det ikke kan representeres av en enkelt prøve, blir det en topp med haler som strekker seg langt unna. Løsningen Multipliser signalet med et Hamming-vindu før du tar DFT, som tidligere diskutert. Figur (b) viser at spekteret endres på tre måter ved å bruke vinduet. Først er de to toppene laget for å se mer like ut. Dette er bra. For det andre blir halerne sterkt redusert. Dette er også bra. For det tredje reduserer vinduet oppløsningen i spekteret ved å gjøre toppene bredere. Dette er dårlig. I DSP-jargong gir vinduer en avstand mellom oppløsning (bredden på toppen) og spektrallekkasje (amplitude av haler). For å utforske de teoretiske aspektene av dette mer detaljert, forestill deg en uendelig lang diskret sinusbølge med en frekvens på 0,1 samplingsfrekvensen. Frekvensspektret til dette signalet er en uendelig smal topp, med alle andre frekvenser som null. Selvfølgelig kan ikke dette signalet eller dets frekvensspektrum bringes inn i en digital datamaskin på grunn av sin uendelige og uendelige natur. For å omgå dette, endrer vi signalet på to måter, som begge forvrenger det sanne frekvensspekteret. Først avkorter vi informasjonen i signalet ved å multiplisere det ved et vindu. For eksempel ville et 256-punkts rektangulært vindu tillate 256 poeng å beholde sin korrekte verdi, mens alle de andre prøvene i det uendelig lange signalet ville bli satt til en verdi på null. På samme måte ville Hamming-vinduet forme de beholdte prøvene, i tillegg til å sette alle punkter utenfor vinduet til null. Signalet er fortsatt uendelig langt, men bare et begrenset antall av prøvene har en null verdi. Hvordan påvirker dette vinduet frekvensdomenet Når todomsdomenesignaler multipliseres. De tilsvarende frekvensdomenene er sammenfalt. Siden det opprinnelige spektret er en uendelig smal topp (dvs. en delta-funksjon), er spektret til det vinduede signalet spektrumet til vinduet forskjøvet til toppstedet. Figur 9-5 viser hvordan spektraltoppen skulle vises ved hjelp av tre forskjellige vindualternativer. Figur 9-5a resulterer fra et rektangulært vindu. Tallene (b) og (c) er resultatet av bruk av to populære vinduer, Hamming og Blackman (som tidligere nevnt, se Eqs. 16-1 og 16-2 og Fig. 16-2a for informasjon om disse vinduene). Som vist på figur 9-5 har alle disse vinduene nedgradert det opprinnelige spektret ved å utvide topp og legge til svinger sammensatt av mange sideløfter. Dette er et uunngåelig resultat av å bruke bare en del av det opprinnelige tidsdomene signalet. Her kan vi se bytte mellom de tre vinduene. Blackman har den bredeste hovedloben (dårlig), men den laveste amplitude-halen (god). Det rektangulære vinduet har den smaleste hovedloben (god), men den største halen (dårlig). Hamming-vinduet sitter mellom disse to. Legg merke til i figur 9-5 at frekvensspektrene er kontinuerlige kurver, ikke diskrete prøver. Etter vinduet er tidsdomenet signalet uendelig langt, selv om de fleste av prøvene er null. Dette betyr at frekvensspektret består av infin2 1-prøver mellom 0 og 0,5, som er det samme som en kontinuerlig linje. Dette bringer inn den andre måten vi må endre tidsdomenet signalet for å tillate det å være representert i en datamaskin: velg N poeng fra signalet. Disse N poengene må inneholde alle de ikke-nullpunktene som er identifisert av vinduet, men kan også inneholde et hvilket som helst tall i nuller. Dette har den effekten av å samplere frekvensspektrumets kontinuerlige kurve. For eksempel, hvis N er valgt til å være 1024, vil spektrumets kontinuerlige kurve bli samplet 513 ganger mellom 0 og 0,5. Hvis N er valgt til å være mye større enn vinduets lengde, vil prøvene i frekvensdomenet være nært nok til at toppene og dalene i den kontinuerlige kurven vil bli bevart i det nye spekteret. Hvis N er gjort det samme som vinduslengden, resulterer det færre antall prøver i spektret i det vanlige mønsteret av topper og daler som blir til uregelmessige haler, avhengig av hvor prøvene faller. Dette forklarer hvorfor de to toppene i figur 9-4a ikke ser like ut. Hver topp i figur 9-4a er et sampling av den underliggende kurve i figur 9-5a. Tilstedeværelsen eller fraværet av haler avhenger av hvor prøvene tas i forhold til toppene og dalene. Hvis sinusbølgen nøyaktig samsvarer med en basisfunksjon, forekommer prøvene nøyaktig på dalene, og eliminerer haler. Hvis sinusbølgen er mellom to grunnleggende funksjoner, forekommer prøvene et sted langs toppene og dalene, noe som resulterer i forskjellige mønster av haler. Dette fører oss til flat-vinduet. vist i figur 9-5d. I noen applikasjoner må amplituden til en spektral topp måles veldig nøyaktig. Siden DFT-frekvensspekteret dannes fra prøver, er det ingenting som garanterer at en prøve vil forekomme akkurat på toppen av en topp. Mer enn sannsynlig vil den nærmeste prøven være litt off-center, noe som gir en verdi lavere enn den sanne amplitude. Løsningen er å bruke et vindu som produserer en spektral topp med en flat topp. Sikre at en eller flere av prøvene alltid har den riktige toppverdien. Som vist i figur 9-5d er straffen for dette en svært bred hovedlobe, noe som resulterer i dårlig frekvensoppløsning. Som det viser seg, er formen vi ønsker for et flatskjermbilde, akkurat samme form som filterkjernen til et lavpasfilter. Vi vil diskutere de teoretiske årsakene til dette i senere kapitler for nå, her er en kokebokbeskrivelse av hvordan teknikken brukes. Kapittel 16 diskuterer et lavpassfilter kalt windowed-sinc. Ligning 16-4 beskriver hvordan du genererer filterkjernen (som vi vil bruke som et vindu), og figur 16-4a illustrerer kurvens typiske form. For å bruke denne ligningen må du vite verdien av to parametre: M og f c. Disse er funnet fra relasjonene: M N -2, og f c s N. hvor N er lengden på DFT som brukes, og s er antall prøver du vil ha på den flate delen av toppen (vanligvis mellom 3 og 5). Tabell 16-1 viser et program for beregning av filterkjernen (vårt vindu), inkludert to subtile funksjoner: normaliseringskonstanten, K, og hvordan man unngår en divide-by-null-feil på midtprøven. Når du bruker denne metoden, husk at en DC-verdi på en i tidsdomene vil gi en topp av amplitude en i frekvensdomenet. Imidlertid vil en sinusoid av amplitude en i tidsdomene bare produsere en spektral topp av amplitude halvdel. (Dette diskuteres i det siste kapitlet: Syntese, Beregning av Inverse DFT). Scientist og Engineers Guide til Digital Signal Processing av Steven W. Smith, Ph. D. Vitenskaps - og ingeniørveiledningen til digital signalbehandling av Steven W. Smith, 11172001 Første utgave (innbundet) side 2, linje 1, her - hvor side 2, linje 3 eksploderte - eksplodere side 2, linje. vender - leverandør side 5, linje 12, særlighet - spesielt side 6, linje 18, resonere - resonans side 7, andre fulle avsnitt, linje 9, kjent - vet side 7, tredje linje fra bunn, at - as side 9, linje 7, kriterier - kriterium side 13, figur 2-1b, gjennomsnitt 3,5 - middel 3,0 side 17, tabell 2-2, programfeil: divider med null feil generert på første sløyfe side 20, figur 2 -4 bildetekst, linje 4, viser - vis side 20, linje 1, 8 eksemplarer - 7 prøver side 21, tabell 2-3, linje 340: HI - HI side 22, fjerde ledd, tredje til siste linje, 0 til 255 - 0 og 255 side 22, fjerde ledd, 2. til siste linje, histogram - pmf side 23, tredje ledd, tredje linje, 121 - 120 - (121-120) side 23, tredje ledd, femte linje, 120.5 - 120.4 - (120.5 - 120.4) side 25, Tabell 2-4, programfeil: Programmet håndterer ikke en verdi 10,0 side 25, tabell 2-4, linje 230. 01 - 100 side 26, figur 2- 7 tekstlinje 6, 21 skuffer - 9 skuffer side 26, linje 7, slett på side 28, tredje ledd, linje 10, slett andre blir side 29, linje 5, kommunikasjon n - kommunisere side 32, femte ledd, linje 3, har - har side 32, 3. linje fra bunn, brukt - bruk side 39, tredje ledd, linje 2, kontinuerlig - kontinuerlig side 41, bildetekst, linje 2, gjenskapes - gjenskap side 41, linje 7, deres side 42, første fulle avsnitt, linje 10, det - Hvis side 42, 2. fulle avsnitt, linje 9. 3.5 til 4.0 - 2.5 til 3.0 side 43, linje 10, du - din side 46, tredje fulle avsnitt, linje 9, vist - viser side 50, linje 1, bruk - brukt side 54, 2. ledd, siste linje, avrulling - avrulling er side 62 , 5. punkt, linje 10, økning - øker side 75, linje 14, merketabell side 77, Tabell 4-4, Linje 4, DS: 0 - DS: 2 side 81, Linje 9 og Linje 12, Personell - personlig side 82, tredje ledd, tredje linje fra bunnen, personell - personlig side 83, 2. ledd, linje 7, fjerde side 85, 10. linje fra bunn, skift for å lese: sin (-x) - in (x) side 90, bildetekst, siste linje, y2 - y1 side 96, 2. ledd, linje 1, Figur 5-11 - Figur 5-8 side 99, linje 3, x1n, x2 n, x3n - x0n, x1n, x2n side 99, linje 6, y1n, y2n, y3n - y0n, y1n, y2n side 100, tredje ledd, linje 5, Der - De side 101, Fig. 5-13, tegn på grafen for x27n er omvendt side 102, linje 9, skjema - fra side 103, 2. ledd, linje 4, kjent side 103, 2. ledd, linje 10, syntetisert - syntetiser side 116, 2. ledd , linje 1, se en - se på en side 120, siste linje, Eq. 6-2 - Eq. 6-1 side 123, linje 10, Forth - Fjerde side 128, Tabell 7-1, første forskjellsprogram, duplisert linjenummer 110 side 128, Tabell 7-1, første forskjellsprogram, linje 120, YI-1 - XI -1 side 128, tabell 7-1, løpende sumprogram, duplisert linjenummer 120 side 142, nr. 3, linje 9, sinusformet sinusformet side 144, punkt 7, linje 10 amp 12, imaginær imaginert side 147, fig. . 8-3, Frekvensdomene, sinusbølger - cosinobølger side 147, Fig. 8-3, Frekvensdomen, cosinobølger - sinusbølger side 151, Fig. 8-5 bildetekst 3, kontinuerlig - kontinuerlig side 152 , punkt 2, linje 8, mønsteret - mønstersiden 160, tabell 8-2, linje 340 amp 350, XI - XXI side 162, andre og tredje linjer etter figur 8-9, ekv. 8-4 - ekv. 8-9 side 174, bildetekst, 2. linje fra bunnen, Blackman - Hamming side 179, Fig 9-7d, slett loddrett linje gjennom figuretikett side 182, siste linje, slett ekstra plass på slutten av linjesiden 188, linje 5, ampPhase - amp Phase side 196, linje 2, visning - vist side 202, tredje fulle avsnitt, linje 5, kontinuerlig - kontinuerlig side 202, tredje fulle avsnitt, linje 6, tegning - tegne side 202, tredje fulle avsnitt, linje 10, minimere - minimere side 202, tredje fulle avsnitt, linje 11, freqeuncy - frekvensside 206, linje 9, på toppen av hverandre - ende til slutt side 208, likning av bildetekst, likning 10-2 - - Likning 10-3 side 208, 2. ledd, linje 8, 10-1 - 10-3 side 208, 3. linje fra bunn, Eq. 10-1 - ekv. 10-3 side 212, 1 fulle avsnitt, linje 1, Figur 11-4 - Figur 11-3 side 214, linje 13, sin (pi kMN) - sin (pi kN) side 214, linje 13, pi kMN - - pi kNpage 214, tredje fulle avsnitt, linje 5, sin (x) x - sin (pi x) (pi x) side 216, fjerde ledd: Det er minst to andre bølgeformer som er deres egen Fourier-transformasjon: null funksjon og impulstog (se side 44) side 220, bildetekst, siste linje, jevnlig side 229, tabell 12-3, eksempel 6: 0100 - 0110 side 234, første linje, slett av denne siden 239, første linje, signaler - signal side 240, linje 10, kapittel 6 - kapittel 5 side 245-259, overskrift av ulike sider, kontinuerlig - kontinuerlig side 274, fig 14-8, bildetekst linje 1, designing - design side 274, 2. fulle avsnitt, linje 78, bandpass - bandstoppside 275, Fig 14-9, bildetekstlinje 1, Dekning - Design side 278, Linje 5, 11 - 10 side 284, Tabell 15-2 , linje 250, Y0 - Y0 side 284, tabell 15-2, linje 300, ACC-ACC101 side 288, figur 16-3b, er etikettene for Hamming og Blackman reversert side 304, andre fulle avsnitt, siste linje, tillatelse tillatt side 305, tabell 17-5, bildetekst, linje 4, (b) delt med (d) - (d) delt med (b) side 309, fig. 17-9c, Weiner - Wiener side 315, bildetekst, linje 2, (d) amp (e) - (e) amp (f) side 329, Fig. 19-7a, mangler høyre siffer på y-aksens etikettside 341, tabell 20-5, linje 1390, - K2 - - (K2) side 360, linje 5, utvendig til innsiden - innsiden til utsiden 362, linje 2, 14 bits - 15 bits side 365, linje 4 og linje 5 fra bunn, format - formant pate 366 linje 13, format - formant side 369, figur 22-10 overskriftslinje 3, som viser - vis denne siden 370, 4. fulle avsnitt, linje 2, logg (xy) - - logg (xy) side 371, linje 3, a - a. side 372, siste linje, prosessbehandlet side 374, linje 8, personell - personlig side 390, 2. ledd, linje 4, 175 - 150 side 405, figur 24-6, etikett i figur, vert side 405, figur 24-6, etikett i figur, horzr - horzc side 407, tredje ledd, linje 1, hver dag - hverdags side 440, linje 9, nøyaktig en - - null eller en side 449, figurtekst, Figur 25-20 - Figur 25-19 side 449, Eq. 25-2, 4pi2 - -4pi2 side 469, linje 1050, tallet 1060 på slutten skal være neste linjenummer side 469, Tabell 26-3, Linje 3040, FOR INGANG NODER - FOR HIDDEN LAYER side 469, Tabell 26-3, linje 3140, FOR HIDDEN NODES - FOR OUTPUT LAYER side 475, Fig. 26-12 overskriftslinje 9, er et punkt - er en punktside 493, Fig. 27-8 overskriftslinje 2, STRING skal Vær kursiv på side 507, Figur 28-2, M sqr (85) - M sqr (40) side 509, fjerde ledd, linje 5, ved hjelp av - Bruk side 511, figur 28-3 tekstlinje 7, tillat - tillater side 512, linje 7, M amptheta - M amp Phi side 513, femte hele avsnittet, linje 7, 2.1213 - - 2.1213 side 513, femte hele avsnittet, linje 8, - j 2.1213 - j 2.1213 side 513, 5. fulle avsnitt, linje 10, - 0,5740 - 0,5740 side 513, femte fulle avsnitt, linje 11, j 0,5740 - - j 0,5740 side 514, fig. 28-4, 2,123 - - 2,123 side 514, fig. 28-4, - j 2.1213 - j 2.1213 side 514, figur 28-4, j 0,4619 - - j 0,4619 side 514, figur 28-4, - 0,5740 - 0,5740 side 514, figur 28-4, j 0,5740 - - j 0,5740 side 514, første fulle avsnitt, linje 2, j 0.4619 - - j 0.4619 side 514, første fulle avsnitt, linje 5, 0.4619 - -0.4619 side 521, Eq. 29-3 i cos-likning, - e (-jx) - e (-jx) side 522, linje 3, kreves - krever side 525, ekv. 29-8 bildetekst linje 2, ekv. 21-7 - ekv. 29-7 side 525, ekv. 29-8, knN j sin - knN j sin side 525, Eq. 29-8, knN j cos - knN - j cos side 529, 9. Skalering - 8. Skalingsside 529, 10. Variasjoner - 9. Variasjoner side 545, 2. fullparag. linje 1, siste kapittel - kapittel 28 side 549, Figurtekst, Figur 30-6 - Figur 30-7 side 551, Fig. 30-8 bildetekst, Siste kapittel - Kapittel 28 Side 552, 3. avsnitt, Linje 1, Figur 30-7 - Figur 30-9 side 554, 2. fullstendig punkt, linje 4, reell imaginær side 555, linje 4, imaginær akse - reell akse side 558, ligningen 6 linjer fra bunnen, yn rn - yn r (-n) side 559, figur 31-1a, b, c (endring på 3 steder), yn rn - yn r (-n) side 559, Fig. 31-1a, r 0,9 - - r 1.1 side 559, Fig. 31-1c, r 1.1 - r 0,9 side 559, linje 2, bytt til å lese: vil falle hvis r1, og øke hvis rlt1. side 559, ligning etter linje 5 skal lese: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) hvor: sigma ln (r) side 559, bunnekvation bør lese: x (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) side 560, toppligning, skal lese: zre (j omega) side 561, nr. 2, linje 6, må mellom - - må være mellom side 560, andre fulle avsnitt, linje 6, er dette - i denne siden 564, linje 3, dividere - multiplisere side 564, fjerde ledd, linje 8, metoder kan ikke - metoder generelt ikke kan side 564, linje 14, s-domene - z-domene side 571, teller av høyre halvdel av ligningen, wz yz - wz xy side 577, figur 31-7, linje 340, figur 23-8 - figur 31-8 side 578, tredje ledd, siste linje, H (s) - Hz side 578, 3. linje fra bunn, 0 til pi radiansekund - 0 til uendelig radiansekund side 622, Under Fourier Transform, skift diskret tid Fourier-serie til diskret tid Fourier transformere andre utgave (softcover og elektroniske pdf-filer) side 2, linje 6, vender-leverandør side 5, linje 12, særlighet - spesielt ly side 6, linje 18, resonere - resonans side 7, tredje linje fra bunn, på - som side 9, linje 7, kriterier - kriterium side 17, tabell 2-2, programbug: divider med null feil generert på første sløyfe side 20, figur 2-4 bildetekst, linje 4, viser - vis side 20, linje 1, 8 prøver - 7 prøver side 21, tabell 2-3, linje 340, HI - HI side 22, 4. punkt, 2. til siste linje, histogram - pmf side 23, tredje ledd, tredje linje, 121 - 120 - (121-120) side 23, tredje ledd, femte linje, 120,5 - 120,4 - (120,5 - 120,4) side 25, Tabell 2-4, programfeil: Programmet håndterer ikke en verdi 10,0 side 25, Tabell 2-4, Linje 230. 01 - 100 side 26, Linje 7, Slett på side 32, 3. linje fra bunn, brukt - - bruk side 39, tredje ledd, linje 2, kontinuerlig - kontinuerlig side 41, bildetekst, linje 2, gjenskapt - gjenskap side 41, linje 7, deres side 54, 2. ledd, siste linje, avrulling - - avrulling er side 62, femte ledd, linje 9, økning - øker side 77, tabell 4-4, linje 4, DS: 0 - DS: 2 side 81, linje 9 og linje 12, personell - personlig side 82, tredje ledd, tredje linje fra bunnen, personell - personlig side 85, fjerde linje fra bunn, skift for å lese: sin (-x) - sin (x) side 90, bildetekst, siste linje, y2 - y1 side 93, Fig. 5-6b, x-akse, B - H side 128, Tabell 7-1, første forskjellsprogram, duplisert linjenummer 110 side 128, Tabell 7-1, første forskjellsprogram , linje 120, YI-1 - XI-1 side 128, Tabell 7-1, løpende sum-program, duplisert linjenummer 120 side 162, andre og tredje linjer etter figur 8-9, ekv. 8-4 - ekv. 8-5 side 174, bildetekst, 2. linje fra bunnen, Blackman - Hamming side 206, bildetekst for Eq. 10-1, legg til siste linje mellom 0 og pi. side 214, linje 13, sin (pi kMN) - sin (pi kN) side 214, linje 13, pi kMN - pi kN side 220, bildetekst, siste linje, jevnlig side 234, første linje, slett av Denne siden 239, første linje, signaler - signal side 240, linje 10, kapittel 6 - kapittel 5 side 278, linje 5, 11 - 10 side 284, tabell 15-2, linje 250, Y0 - Y0 side 284 , tabell 15-2, linje 300, ACC-ACC101 side 288, figur 16-3b, reverseres etikettene for Hamming og Blackman side 305, tabell 17-5, bildetekst, linje 4, (b) delt med (d) ) - (d) divisjon med (b) side 309, Figur 17-9c, Weiner - Wiener side 315, bildetekst, linje 2, (d) amp (e) - (e) amp (f) side 360 linje 5, utvendig til innsiden - innvendig til utvendig side 362, linje 2, 14 bits - 15 bits side 365, linje 4 og linje 5 fra bunn, format - formant pate 366 linje 12, format - formant side 370 , 4. fulle avsnitt, linje 2, logg (xy) - logg (xy) side 371, linje 3, legg til. på slutten av setningen side 371, linje 9, multipliserings multiplikasjon side 374, linje 8, personell - personlig side 390, 2. ledd, linje 4, 175 - 150 side 407, tredje ledd, linje 1, hver dag - hverdags side 440, linje 9, nøyaktig en - - null eller en side 449, ekv. 25-2, 4pi2 - -4pi2 side 469, Tabell 26-3, linje 3040, FOR INGANG NODER - FOR HÅNDT LAGER side 469, Tabell 26-3, Linje 3140, FOR HIDDEN NODES - FOR UTGANG LAGER side 516, linje 8, 30.000 - 3000 side 523, tabell 28-4, linje 008, pm (k12, m14) - pm (i12, m14) side 543, fjerde ledd, linje 5, 29-3-29- 2 side 543, figur 29-4 bildetekst linje 5, 29-3a - 29-2a side 548, 15 linje fra bunn, (ekko, 1 nyeste, dm) - - (ekko, 1, nyeste, dm) side 555, Fig. 30-2, M sqr (85) - M sqr (40) side 577, 9. Skalering - 8. Skalering side 577, 10. Variasjoner - 9. Variasjoner side 590, bildetekst, linje 7 , 30-5 - 32-5 side 602, tredje ledd, linje 4, reell imaginær side 603, linje 4, imaginær akse - reell akse side 606, ligningen 6 linjer fra bunnen, yn rn - yn r (-n) side 607, Fig. 33-1a, b, c (endring på 3 steder), yn rn - - yn r (-n) side 607, Fig. 33-1a, r 0,9 - r 1.1 side 607, Fig. 33-1c, r 1.1 - r 0,9 side 607, linje 2, bytt til å lese: vil falle hvis r1, og øke hvis rlt1. side 607, ligning etter linje 5 skal lese: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) hvor: sigma ln (r) side 607, bunnekvation bør lese: x (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) side 608, toppligning, skal lese: zre (j omega) side 608, nr. 2, linje 6, må mellom - - må være mellom side 612, linje 3, deling - multiplikasjon side 612, linje 13, s-domene - z-domene side 612, fjerde ledd, linje 8, metoder kan ikke - metoder generelt ikke kan side 619, teller til høyre halv likning, wz yz - wz xy side 626, tredje linje fra bunn, 0 til pi radianssekund - 0 til uendelig radiansekund side 631, header, Studieveiledning - Ordliste side 645-650, header, Ordliste - Indeksside 646, Under Fourier Transform, change discrete time Fourier series to discrete time Fourier transformComputational tools Analogously, DataFrame has a method cov to compute pairwise covariances among the series in the DataFrame, also excluding NAnull values. Assuming the missing data are missing at random t his results in an estimate for the covariance matrix which is unbiased. However, for many applications this estimate may not be acceptable because the estimated covariance matrix is not guaranteed to be positive semi-definite. This could lead to estimated correlations having absolute values which are greater than one, andor a non-invertible covariance matrix. See Estimation of covariance matrices for more details. DataFrame. cov also supports an optional minperiods keyword that specifies the required minimum number of observations for each column pair in order to have a valid result. The weights used in the window are specified by the wintype keyword. The list of recognized types are: boxcar triang blackman hamming bartlett parzen bohman blackmanharris nuttall barthann kaiser (needs beta) gaussian (needs std) generalgaussian (needs power, width) slepian (needs width). Note that the boxcar window is equivalent to mean() . For some windowing functions, additional parameters must be specified: For. sum() with a wintype. there is no normalization done to the weights for the window. Passing custom weights of 1, 1, 1 will yield a different result than passing weights of 2, 2, 2. for example. When passing a wintype instead of explicitly specifying the weights, the weights are already normalized so that the largest weight is 1. In contrast, the nature of the. mean() calculation is such that the weights are normalized with respect to each other. Weights of 1, 1, 1 and 2, 2, 2 yield the same result. Time-aware Rolling New in version 0.19.0. New in version 0.19.0 are the ability to pass an offset (or convertible) to a. rolling() method and have it produce variable sized windows based on the passed time window. For each time point, this includes all preceding values occurring within the indicated time delta. This can be particularly useful for a non-regular time frequency index. This is a regular frequency index. Using an integer window parameter works to roll along the window frequency. Specifying an offset allows a more intuitive specification of the rolling frequency. Using a non-regular, but still monotonic index, rolling with an integer window does not impart any special calculation. Using the time-specification generates variable windows for this sparse data. Furthermore, we now allow an optional on parameter to specify a column (rather than the default of the index) in a DataFrame. Time-aware Rolling vs. Resampling Using. rolling() with a time-based index is quite similar to resampling. They both operate and perform reductive operations on time-indexed pandas objects. When using. rolling() with an offset. The offset is a time-delta. Take a backwards-in-time looking window, and aggregate all of the values in that window (including the end-point, but not the start-point). This is the new value at that point in the result. These are variable sized windows in time-space for each point of the input. You will get a same sized result as the input. When using. resample() with an offset. Construct a new index that is the frequency of the offset. For each frequency bin, aggregate points from the input within a backwards-in-time looking window that fall in that bin. The result of this aggregation is the output for that frequency point. The windows are fixed size size in the frequency space. Your result will have the shape of a regular frequency between the min and the max of the original input object. To summarize. rolling() is a time-based window operation, while. resample() is a frequency-based window operation. Centering Windows By default the labels are set to the right edge of the window, but a center keyword is available so the labels can be set at the center. Binary Window Functions cov() and corr() can compute moving window statistics about two Series or any combination of DataFrameSeries or DataFrameDataFrame. Here is the behavior in each case: two Series. compute the statistic for the pairing. DataFrameSeries. compute the statistics for each column of the DataFrame with the passed Series, thus returning a DataFrame. DataFrameDataFrame. by default compute the statistic for matching column names, returning a DataFrame. If the keyword argument pairwiseTrue is passed then computes the statistic for each pair of columns, returning a Panel whose items are the dates in question (see the next section ). Computing rolling pairwise covariances and correlations In financial data analysis and other fields it8217s common to compute covariance and correlation matrices for a collection of time series. Often one is also interested in moving-window covariance and correlation matrices. This can be done by passing the pairwise keyword argument, which in the case of DataFrame inputs will yield a Panel whose items are the dates in question. In the case of a single DataFrame argument the pairwise argument can even be omitted: Missing values are ignored and each entry is computed using the pairwise complete observations. Please see the covariance section for caveats associated with this method of calculating covariance and correlation matrices. Aside from not having a window parameter, these functions have the same interfaces as their. rolling counterparts. Like above, the parameters they all accept are: minperiods. threshold of non-null data points to require. Defaults to minimum needed to compute statistic. No NaNs will be output once minperiods non-null data points have been seen. center. boolean, whether to set the labels at the center (default is False) The output of the. rolling and. expanding methods do not return a NaN if there are at least minperiods non-null values in the current window. This differs from cumsum. cumprod. cummax. and cummin. which return NaN in the output wherever a NaN is encountered in the input. An expanding window statistic will be more stable (and less responsive) than its rolling window counterpart as the increasing window size decreases the relative impact of an individual data point. As an example, here is the mean() output for the previous time series dataset: Exponentially Weighted Windows A related set of functions are exponentially weighted versions of several of the above statistics. A similar interface to. rolling and. expanding is accessed thru the. ewm method to receive an EWM object. A number of expanding EW (exponentially weighted) methods are provided: